数列 $\{a_n\}$ が $\sum_{k=0}^{n} a_k = \frac{1}{n}$ （全ての $n > 0$ に対して）を満たすとき、無限級数 $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $\sum_{k=0}^{n} a_k = \frac{1}{n}$ （全ての $n > 0$ に対して）を満たすとき、無限級数 $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_0$ を求めます。$n=1$ のとき、$\sum_{k=0}^{1} a_k = a_0 + a_1 = \frac{1}{1} = 1$ が成り立ちます。

次に、$a_n$ を $a_n = \sum_{k=0}^{n} a_k - \sum_{k=0}^{n-1} a_k$ で表現します。

問題文より、$\sum_{k=0}^{n} a_k = \frac{1}{n}$ と $\sum_{k=0}^{n-1} a_k = \frac{1}{n-1}$ ですから、$a_n$は次のように書けます。

$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1} = \frac{n-1 - n}{n(n-1)} = \frac{-1}{n(n-1)}$

ただし、$n \geq 2$ である必要があります。

$a_0$は、$n=1$のとき$\sum_{k=0}^{1} a_k = \frac{1}{1}$より、$a_0 + a_1 = 1$となります。

$n=1$を$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1}$に代入すると、$a_1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{0}$となり、$a_1$が定義できないので、別の計算をします。$\sum_{k=0}^0 a_k = a_0 = \frac{1}{0}$も定義できないです。

しかし、$\sum_{k=0}^{n} a_k = \frac{1}{n}$という条件から、$a_0$を計算することはできません。

条件を正しく解釈すると、$\sum_{k=0}^{n} a_k = \frac{1}{n}$ という条件は、$n \ge 1$ で成り立ちます。

$\sum_{k=0}^0 a_k = a_0$ は与えられていません。

$a_n = \sum_{k=0}^n a_k - \sum_{k=0}^{n-1} a_k = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1}$ （$n \geq 2$）

$a_1 = \sum_{k=0}^1 a_k - a_0 = \frac{1}{1} - a_0 = 1 - a_0$

すると、$\sum_{k=0}^{\infty} a_k = a_0 + a_1 + \sum_{k=2}^{\infty} a_k$ となります。

$a_1 = 1 - a_0$ なので、$a_0 + a_1 = a_0 + 1 - a_0 = 1$

$\sum_{k=2}^{\infty} a_k = \sum_{k=2}^{\infty} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k-1})$

これは、$\lim_{N \to \infty} \sum_{k=2}^N (\frac{1}{k} - \frac{1}{k-1}) = \lim_{N \to \infty} (\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{N} - \frac{1}{N-1}) = \lim_{N \to \infty} (\frac{1}{N} - 1) = -1$ となります。

したがって、$\sum_{k=0}^{\infty} a_k = 1 + (-1) = 0$となります。

3. 最終的な答え

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