与えられた2つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。 (1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ (2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、それぞれの極値を求める問題です。

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の場合

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 12x - 9 = 0$

$-3(x^2 - 4x + 3) = 0$

$-3(x-1)(x-3) = 0$

したがって、$x=1$ または $x=3$ となります。

次に、第二導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = -6x + 12$

$x=1$ のとき、$f''(1) = -6(1) + 12 = 6 > 0$ なので、$x=1$ で極小値をとり、極小値は $f(1) = -1 + 6 - 9 + 1 = -3$ です。

$x=3$ のとき、$f''(3) = -6(3) + 12 = -6 < 0$ なので、$x=3$ で極大値をとり、極大値は $f(3) = -27 + 54 - 27 + 1 = 1$ です。

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$ の場合

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を使います。

$f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2 (-2) e^{-2x} = 2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x} = 2x e^{-2x} (1 - x)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x e^{-2x} (1 - x) = 0$

$e^{-2x}$ は常に正なので、$x=0$ または $x=1$ となります。

次に、第二導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = (2 e^{-2x} - 4x e^{-2x}) (1 - x) + 2x e^{-2x} (-1) = 2e^{-2x} - 4x e^{-2x} - 2x e^{-2x} + 4x^2 e^{-2x} - 2x e^{-2x} = 2e^{-2x} - 8x e^{-2x} + 4x^2 e^{-2x} = 2 e^{-2x} (1 - 4x + 2x^2)$

$x=0$ のとき、$f''(0) = 2 e^{0} (1 - 0 + 0) = 2 > 0$ なので、$x=0$ で極小値をとり、極小値は $f(0) = 0^2 e^{0} = 0$ です。

$x=1$ のとき、$f''(1) = 2 e^{-2} (1 - 4 + 2) = -2 e^{-2} < 0$ なので、$x=1$ で極大値をとり、極大値は $f(1) = 1^2 e^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

$x = 1$ で極小値 $-3$

$x = 3$ で極大値 $1$

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

$x = 0$ で極小値 $0$

$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e^2}$