平均値の定理を用いて、$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$ を証明する。

1. 問題の内容

平均値の定理を用いて、$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$ を証明する。

2. 解き方の手順

$f(x) = \sin x$ とする。$f(x)$ は $[ \alpha, \beta ]$ で連続であり、$(\alpha, \beta)$ で微分可能である。

平均値の定理より、

$\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(c)$

となる $c$ が $(\alpha, \beta)$ に存在する。

$f(x) = \sin x$ より、$f'(x) = \cos x$ であるから、

$\frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\beta - \alpha} = \cos c$

となる $c$ が $(\alpha, \beta)$ に存在する。

$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < c < \frac{\pi}{2}$ であるから、$0 < \cos c < 1$ である。

したがって、

$0 < \cos c < 1$

$\frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\beta - \alpha} = \cos c$ より、

$\frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\beta - \alpha} < 1$

$\beta - \alpha > 0$ であるから、

$\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$

3. 最終的な答え

$\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$