定積分 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を行います。

$u = 1 - x^2$ とおくと、$du = -2x \, dx$ となります。

したがって、$x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$ です。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = 1 - 0^2 = 1$

$x = 1$ のとき、$u = 1 - 1^2 = 0$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left( -\frac{1}{2} \, du \right) = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{1/2} \, du$

積分の順序を反転させるために負号を消すと、次のようになります。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du$

$u^{1/2}$ の積分は $\frac{2}{3} u^{3/2}$ です。

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$