定積分 $I = \int_{0}^{1} (e^x - ax)^2 dx$ を最小にする $a$ の値と、$I$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{0}^{1} (e^x - ax)^2 dx$ を最小にする $a$ の値と、$I$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$I$ を $a$ の関数として計算します。

$I = \int_{0}^{1} (e^x - ax)^2 dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2axe^x + a^2x^2) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^2 - 1)$

$\int_{0}^{1} x e^x dx = \left[ x e^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x dx = e - (e - 1) = 1$

$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$

したがって、

$I = \frac{1}{2} (e^2 - 1) - 2a(1) + a^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} (e^2 - 1) - 2a + \frac{1}{3}a^2$

$I$ は $a$ の二次関数なので、平方完成します。

$I = \frac{1}{3} a^2 - 2a + \frac{1}{2}(e^2 - 1) = \frac{1}{3} (a^2 - 6a) + \frac{1}{2}(e^2 - 1)$

$I = \frac{1}{3} (a^2 - 6a + 9 - 9) + \frac{1}{2}(e^2 - 1) = \frac{1}{3} (a - 3)^2 - 3 + \frac{1}{2}(e^2 - 1)$

$I = \frac{1}{3} (a - 3)^2 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{3} (a - 3)^2 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{7}{2}$

$I$ を最小にする $a$ の値は $a = 3$ です。

このとき、$I$ の最小値は $\frac{1}{2}e^2 - \frac{7}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$I$ の最小値: $\frac{e^2 - 7}{2}$