次の極限を求めよ。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{4+7+10+\dots+(3n+1)}{5+8+11+\dots+(3n+2)}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^2+2^2+3^2+\dots+n^2}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\dots+n(n+1)}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{4+7+10+\dots+(3n+1)}{5+8+11+\dots+(3n+2)}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^2+2^2+3^2+\dots+n^2}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\dots+n(n+1)}$

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母はそれぞれ等差数列の和である。

分子の和は、初項4、公差3、項数$n$の等差数列の和であるから、

$S_n = \frac{n}{2} \{2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 3 \} = \frac{n}{2} (8 + 3n - 3) = \frac{n(3n+5)}{2}$.

分母の和は、初項5、公差3、項数$n$の等差数列の和であるから、

$S_n = \frac{n}{2} \{2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3 \} = \frac{n}{2} (10 + 3n - 3) = \frac{n(3n+7)}{2}$.

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{4+7+10+\dots+(3n+1)}{5+8+11+\dots+(3n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(3n+5)}{2}}{\frac{n(3n+7)}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{3n+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{3+\frac{5}{n}}{3+\frac{7}{n}} = \frac{3}{3} = 1$.

(2) 分子の和は$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

分母の和は $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1^2+2^2+3^2+\dots+n^2}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\dots+n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)(n+2)}{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{2(1+\frac{2}{n})} = \frac{2}{2} = 1$.

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1