体積$V$を求める問題で、積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算します。問題では、$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ という関係式を用いて積分を計算し、最終的な答えを求めています。

1. 問題の内容

体積$V$を求める問題で、積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算します。問題では、$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ という関係式を用いて積分を計算し、最終的な答えを求めています。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 x$ を $\frac{1}{\cos^2 x} - 1$ に置き換えます。

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$

与えられた積分は次のようになります。

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) dx$

次に、$\frac{1}{\cos^2 x}$ の積分が $\tan x$ であることを利用します。

$V = \pi \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

積分範囲の端点を代入します。

$V = \pi \left[ \left( \tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) - \left( \tan 0 - 0 \right) \right]$

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であり、$\tan 0 = 0$ であるため、

$V = \pi \left[ \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - \left( 0 - 0 \right) \right] = \pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$

3. 最終的な答え

$\pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$