数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が、$a_1 = 1$ であり、 $a_n = \begin{cases} \frac{2a_{n-1}-1}{3} & (n \text{ が奇数}) \\ \frac{a_{n-1}+2}{3} & (n \text{ が偶数}) \end{cases}$ と定められています。集合 $\{a_n | n \in \mathbb{N}\}$ の上限と下限を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が、$a_1 = 1$ であり、

$a_n = \begin{cases} \frac{2a_{n-1}-1}{3} & (n \text{ が奇数}) \\ \frac{a_{n-1}+2}{3} & (n \text{ が偶数}) \end{cases}$

と定められています。集合 $\{a_n | n \in \mathbb{N}\}$ の上限と下限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの項を計算して数列の様子を見てみます。

$a_1 = 1$

$a_2 = \frac{a_1 + 2}{3} = \frac{1+2}{3} = 1$

$a_3 = \frac{2a_2 - 1}{3} = \frac{2(1) - 1}{3} = \frac{1}{3}$

$a_4 = \frac{a_3 + 2}{3} = \frac{\frac{1}{3} + 2}{3} = \frac{7}{9}$

$a_5 = \frac{2a_4 - 1}{3} = \frac{2(\frac{7}{9}) - 1}{3} = \frac{\frac{14}{9} - 1}{3} = \frac{5}{27}$

$a_6 = \frac{a_5 + 2}{3} = \frac{\frac{5}{27} + 2}{3} = \frac{\frac{59}{27}}{3} = \frac{59}{81}$

この数列は、奇数番目と偶数番目で異なる漸化式を持っています。

$a_n$ がある値に収束すると仮定すると、$n \to \infty$ で $a_n \to \alpha$ となるとき、

$\alpha = \frac{2\alpha - 1}{3}$ と $\alpha = \frac{\alpha + 2}{3}$

の両方を満たす必要があります。

最初の式から、$3\alpha = 2\alpha - 1$ より $\alpha = -1$

2番目の式から、$3\alpha = \alpha + 2$ より $2\alpha = 2$, $\alpha = 1$

収束すると仮定すると矛盾が生じるので収束しないと考えられます。

$a_n = 1$ となる $n$ は存在します ($a_1=a_2 = 1$)。

全ての $n$ について、$a_n < 1$ が成り立つかどうかを考察します。

$a_1=1$

$a_2 = 1$

$a_3 = \frac{1}{3}$

$a_4 = \frac{7}{9}$

$a_5 = \frac{5}{27}$

$a_6 = \frac{59}{81}$

上限について、$a_n \le 1$ を数学的帰納法で示します。

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$ で成り立つ。

$n=k$ のとき、$a_k \le 1$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$k+1$ が奇数のとき、$a_{k+1} = \frac{2a_k - 1}{3} \le \frac{2(1) - 1}{3} = \frac{1}{3} < 1$

$k+1$ が偶数のとき、$a_{k+1} = \frac{a_k + 2}{3} \le \frac{1 + 2}{3} = 1$

よって、$a_{k+1} \le 1$ が成り立つ。

したがって、全ての $n$ について $a_n \le 1$ が成り立つ。

$a_1 = a_2 = 1$ なので、上限は1です。

下限について、$a_n \ge -1$ であることを示します。

$a_{n} = \frac{2a_{n-1} - 1}{3}$ または $a_{n} = \frac{a_{n-1} + 2}{3}$であるため、

$a_{n-1} \ge -1$ と仮定すると、$a_{n} = \frac{2a_{n-1} - 1}{3} \ge \frac{2(-1) - 1}{3} = -1$ かつ

$a_{n} = \frac{a_{n-1} + 2}{3} \ge \frac{-1 + 2}{3} = \frac{1}{3} > -1$

$a_1=1$ であるので、$a_n \ge -1$ が成り立ちます。

$a_3 = \frac{1}{3}$ です。また、$n$ を大きくしていくと、

$\lim_{n \to \infty} a_n = -1$となる可能性があります。

数列は振動すると推測されるため、下限は $-1$ ではないかと考えられます。

$a_1 = 1$

$a_2 = 1$

$a_3 = \frac{1}{3}$

$a_4 = \frac{7}{9}$

$a_5 = \frac{5}{27}$

$a_6 = \frac{59}{81}$

$a_7 = \frac{2a_6-1}{3} = \frac{2(\frac{59}{81})-1}{3} = \frac{118-81}{243} = \frac{37}{243}$

下限が-1になることを示すために、ある$n$において、$a_n$ が $-1$ に限りなく近づくことを示す必要がある。

3. 最終的な答え

上限: 1

下限: $\frac{1}{3}$