定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いて不定積分を計算します。

$u = 4 - x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

不定積分は、

$\int x\sqrt{4-x^2} dx = \int \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du$

$= -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

次に、定積分の計算を行います。

$\int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx = \left[-\frac{1}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}$

$= -\frac{1}{3}(4-2^2)^{\frac{3}{2}} - \left(-\frac{1}{3}(4-1^2)^{\frac{3}{2}}\right) = -\frac{1}{3}(0)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}$

$= 0 + \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$