与えられた定積分の値を計算する問題です。積分は変数 $x$ に関して行われ、積分範囲は$-x$から$x$です。被積分関数は $\sin(t) - pt^2$ です。 $ \int_{-x}^{x} (\sin t - pt^2) dt $

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算する問題です。積分は変数 $x$ に関して行われ、積分範囲は$-x$から$x$です。被積分関数は $\sin(t) - pt^2$ です。

$\int_{-x}^{x} (\sin t - pt^2) dt$

2. 解き方の手順

まず、積分をそれぞれの項に分けます。

$\int_{-x}^{x} \sin t dt - \int_{-x}^{x} pt^2 dt$

それぞれの積分を計算します。

* $\int_{-x}^{x} \sin t dt$

サイン関数は奇関数なので、対称な区間での積分は0になります。

$\int_{-x}^{x} \sin t dt = 0$

* $\int_{-x}^{x} pt^2 dt$

定数 $p$ は積分の外に出せます。

$p \int_{-x}^{x} t^2 dt$

$t^2$ は偶関数なので、積分区間を半分にして2倍することができます。

$p \int_{-x}^{x} t^2 dt = 2p \int_{0}^{x} t^2 dt$

$t^2$ の積分は $\frac{t^3}{3}$ です。

$2p \int_{0}^{x} t^2 dt = 2p \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{x} = 2p \left( \frac{x^3}{3} - 0 \right) = \frac{2px^3}{3}$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{-x}^{x} (\sin t - pt^2) dt = 0 - \frac{2px^3}{3} = -\frac{2px^3}{3}$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$-\frac{2px^3}{3}$

です。