$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)}dx$ を計算する。

## 問題4

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)}dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けて、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$1 = A(x^2+3x+2) + B(x+2) + C(x^2+2x+1)$

$1 = (A+C)x^2 + (3A+B+2C)x + (2A+2B+C)$

係数比較を行う。

$x^2$の係数: $A+C = 0$

$x$の係数: $3A+B+2C = 0$

定数項: $2A+2B+C = 1$

$A = -C$ より、

$3A + B - 2A = 0$

$A+B = 0$

$B = -A$

$2A - 2A + C = 1$

$C = 1$

$A = -1$

$B = 1$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

積分を実行する。

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)}dx = \int (\frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2})dx$

$\int \frac{-1}{x+1} dx = -\ln|x+1| + C_1$

$\int \frac{1}{(x+1)^2} dx = -\frac{1}{x+1} + C_2$

$\int \frac{1}{x+2} dx = \ln|x+2| + C_3$

よって、

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)}dx = -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)}dx = \ln|\frac{x+2}{x+1}| - \frac{1}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\frac{x+2}{x+1}| - \frac{1}{x+1} + C$