与えられた無限級数が収束することを示し、その和を求めます。問題は2つあります。 (1) $\frac{1}{2\cdot5} + \frac{1}{5\cdot8} + \frac{1}{8\cdot11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \cdots$ (2) $\frac{1}{2\cdot4} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{4\cdot6} + \cdots + \frac{1}{(n+1)(n+3)} + \cdots$

1. 問題の内容

与えられた無限級数が収束することを示し、その和を求めます。問題は2つあります。

(1) $\frac{1}{2\cdot5} + \frac{1}{5\cdot8} + \frac{1}{8\cdot11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \cdots$

(2) $\frac{1}{2\cdot4} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{4\cdot6} + \cdots + \frac{1}{(n+1)(n+3)} + \cdots$

2. 解き方の手順

(1) 無限級数の一般項は $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ です。

この一般項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2}$

$1 = A(3n+2) + B(3n-1)$

$n$ の係数と定数項を比較すると、

$3A + 3B = 0$

$2A - B = 1$

$A = -B$ より $2A + A = 1$ なので $A = \frac{1}{3}$、 $B = -\frac{1}{3}$

よって、

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$

部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right) + \cdots + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{3n+2} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(2) 無限級数の一般項は $\frac{1}{(n+1)(n+3)}$ です。

この一般項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+3}$

$1 = A(n+3) + B(n+1)$

$n$ の係数と定数項を比較すると、

$A + B = 0$

$3A + B = 1$

$B = -A$ より $3A - A = 1$ なので $2A = 1$、 $A = \frac{1}{2}$、 $B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)$

部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n+2} \to 0$ かつ $\frac{1}{n+3} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3+2}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{5}{12}$