与えられた関数の導関数を求める問題です。 具体的には、次の7つの関数について導関数を計算します。 (1) $(x^3 + 5x^2 + 3)^6$ (2) $(3x^2 + x + 4)(x^2 - x + 3)$ (3) $\sqrt{3x^2 + 1}$ (4) $\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}$ (5) $\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}$ (6) $\frac{x}{\sqrt{3-x^2}}$ (7) $(\frac{x-\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}})^3$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。 具体的には、次の7つの関数について導関数を計算します。

(1) $(x^3 + 5x^2 + 3)^6$

(2) $(3x^2 + x + 4)(x^2 - x + 3)$

(3) $\sqrt{3x^2 + 1}$

(4) $\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}$

(5) $\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}$

(6) $\frac{x}{\sqrt{3-x^2}}$

(7) $(\frac{x-\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}})^3$

2. 解き方の手順

各関数の導関数を計算します。

(1) 合成関数の微分法を使います。

$y = u^6$、 $u = x^3 + 5x^2 + 3$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot (3x^2 + 10x) = 6(x^3 + 5x^2 + 3)^5 (3x^2 + 10x)$

(2) 積の微分法を使います。

$y = uv$のとき、 $y' = u'v + uv'$ です。

$u = 3x^2 + x + 4$、 $v = x^2 - x + 3$ とおくと、

$u' = 6x + 1$、 $v' = 2x - 1$

よって、

$y' = (6x + 1)(x^2 - x + 3) + (3x^2 + x + 4)(2x - 1) = 6x^3 - 6x^2 + 18x + x^2 - x + 3 + 6x^3 + 2x^2 + 8x - 3x^2 - x - 4 = 12x^3 - 6x^2 + 24x - 1$

(3) 合成関数の微分法を使います。

$y = \sqrt{u}$、 $u = 3x^2 + 1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (6x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}$

(4) 合成関数の微分法を使います。

$y = u^{2/3}$、 $u = x^2 + 1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{2}{3}u^{-1/3} \cdot (2x) = \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 + 1}}$

(5) 商の微分法を使います。

$y = \frac{u}{v}$のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

$u = x + 1$、 $v = (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ とおくと、

$u' = 1$、 $v' = 2x + 5$

よって、

$y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 5x + 6) - (x+1)(2x+5)}{(x^2 + 5x + 6)^2} = \frac{x^2 + 5x + 6 - (2x^2 + 7x + 5)}{(x^2 + 5x + 6)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 5x + 6)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x+2)^2 (x+3)^2}$

あるいは部分分数分解を使うと、$\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$ より $x+1 = A(x+3) + B(x+2)$。$x=-2$のとき $-1 = A$、$x=-3$のとき $-2 = -B$ より $B=2$。

$\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = -\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x+3}$

よって、$\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x+3} \right) = \frac{1}{(x+2)^2} - \frac{2}{(x+3)^2} = \frac{(x+3)^2 - 2(x+2)^2}{(x+2)^2 (x+3)^2} = \frac{x^2+6x+9 - 2(x^2+4x+4)}{(x+2)^2 (x+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x+2)^2 (x+3)^2}$

(6) 商の微分法と合成関数の微分法を使います。

$y = \frac{u}{v}$のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

$u = x$、 $v = \sqrt{3-x^2}$ とおくと、

$u' = 1$、 $v' = \frac{-2x}{2\sqrt{3-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{3-x^2}}$

よって、

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{3-x^2} - x \cdot (\frac{-x}{\sqrt{3-x^2}})}{(\sqrt{3-x^2})^2} = \frac{\sqrt{3-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2} = \frac{\frac{3-x^2 + x^2}{\sqrt{3-x^2}}}{3-x^2} = \frac{3}{(3-x^2)\sqrt{3-x^2}} = \frac{3}{(3-x^2)^{3/2}}$

(7) 合成関数の微分法を使います。

$y = u^3$、 $u = \frac{x-\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx} = 3 (\frac{x-\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}})^2 \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u$の微分を計算します。

$u = \frac{v}{w}$、$v = x - \sqrt{2x+1}$、$w = x + \sqrt{2x+1}$とおくと、$u' = \frac{v'w - vw'}{w^2}$

$v' = 1 - \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$、$w' = 1 + \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

$v'w - vw' = (1 - \frac{1}{\sqrt{2x+1}})(x + \sqrt{2x+1}) - (x - \sqrt{2x+1})(1 + \frac{1}{\sqrt{2x+1}}) = x + \sqrt{2x+1} - \frac{x}{\sqrt{2x+1}} - 1 - (x - \sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}} - 1) = 2\sqrt{2x+1} - \frac{2x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2(2x+1) - 2x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{4x+2-2x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2x+2}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+1}}$

よって、$\frac{du}{dx} = \frac{\frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+1}}}{(x + \sqrt{2x+1})^2} = \frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+1} (x + \sqrt{2x+1})^2}$

$\frac{dy}{dx} = 3 (\frac{x-\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}})^2 \cdot \frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+1} (x + \sqrt{2x+1})^2} = \frac{6(x+1)(x-\sqrt{2x+1})^2}{\sqrt{2x+1}(x+\sqrt{2x+1})^4}$

3. 最終的な答え

(1) $6(x^3 + 5x^2 + 3)^5 (3x^2 + 10x)$

(2) $12x^3 - 6x^2 + 24x - 1$

(3) $\frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}$

(4) $\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 + 1}}$

(5) $\frac{-x^2 - 2x + 1}{(x+2)^2 (x+3)^2}$

(6) $\frac{3}{(3-x^2)^{3/2}}$

(7) $\frac{6(x+1)(x-\sqrt{2x+1})^2}{\sqrt{2x+1}(x+\sqrt{2x+1})^4}$