与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x

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2. 解き方の手順

この極限は、$e$ の定義に関連する形をしています。$e$ の定義は以下のように書けます。

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\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e

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与えられた極限をこの形に近づけるために、変数変換を行います。

$n = -2x$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $n \to -\infty$ となります。

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\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x = \lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-\frac{n}{2}}

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指数法則を用いて変形します。

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\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-\frac{n}{2}} = \lim_{n \to -\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^{-\frac{1}{2}}

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ここで、$\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ を用いると、

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\lim_{n \to -\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{e}}$