(1) $\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (x^2 + y^2) dxdy$ (2) $\int_{1}^{2}\int_{1}^{2} x^2y\ dxdy$

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1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 次の重積分を求めよ。

(1) $\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (x^2 + y^2) dxdy$

(2) $\int_{1}^{2}\int_{1}^{2} x^2y\ dxdy$

2. ある会社でパソコンを購入する。1年間無故障で稼働する確率をどのパソコンも 0.5 とする。3台のパソコンA, B, Cを購入して、1年間故障しないパソコンが1台だけである確率を求めよ。

3. ある交差点で右折車のため渋滞が起こり、右折車線を設計しようとしている。混雑時右折待ちの車の列の長さを60回観測して次の結果を得た。車の列が5台以上になる確率を求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. 重積分

(1) まず、$x$ で積分します。

$\int_{0}^{1} (x^2 + y^2) dx = [\frac{x^3}{3} + y^2x]_0^1 = \frac{1}{3} + y^2$

次に、$y$ で積分します。

$\int_{0}^{2} (\frac{1}{3} + y^2) dy = [\frac{1}{3}y + \frac{y^3}{3}]_0^2 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$

(2) まず、$x$ で積分します。

$\int_{1}^{2} x^2y \ dx = [\frac{x^3}{3}y]_1^2 = (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})y = \frac{7}{3}y$

次に、$y$ で積分します。

$\int_{1}^{2} \frac{7}{3}y \ dy = [\frac{7}{6}y^2]_1^2 = \frac{7}{6}(4-1) = \frac{7}{6} \times 3 = \frac{7}{2}$

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2. 確率

3台のパソコンのうち、1台だけが故障しない確率を求める問題です。パソコンが故障しない確率が0.5であるため、故障する確率も0.5です。3台のうち1台だけが故障しない確率は、二項分布に従います。

確率は以下の式で計算できます。

$P(X=1) = {}_3C_1 \times (0.5)^1 \times (0.5)^2 = 3 \times 0.5 \times 0.25 = 0.375$

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3. 確率（統計）

車の列が5台以上になる確率は、観測回数の表から計算できます。

5台以上になるのは、5台と6台の場合なので、観測回数はそれぞれ1回と0回です。合計すると1回です。

全体の観測回数は60回なので、求める確率は、

$\frac{1}{60}$

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3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{10}{3}$

(2) $\frac{7}{2}$

2. 0.375

3. $\frac{1}{60}$