与えられた4つの極限の値を計算する問題です。 問題は以下の通りです。 1. $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{2x})^x$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限の値を計算する問題です。

問題は以下の通りです。

1. $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{2x})^x$

2. $\lim_{x \to -\infty} (2 - \frac{1}{2x})^x$

3. $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{3\theta}$

4. $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - x^2} - \sqrt{2x - x^2})$

2. 解き方の手順

問題1: $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{2x})^x$

$y = -\frac{1}{2x}$とおくと、$x \to \infty$のとき、$y \to 0$。また、$x = -\frac{1}{2y}$である。

よって、

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{2x})^x = \lim_{y \to 0} (1 + y)^{-\frac{1}{2y}} = \lim_{y \to 0} ((1 + y)^{\frac{1}{y}})^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

問題2: $\lim_{x \to -\infty} (2 - \frac{1}{2x})^x$

$x \to -\infty$のとき、$-\frac{1}{2x} \to 0$なので、$2 - \frac{1}{2x} \to 2$。

したがって、$\lim_{x \to -\infty} (2 - \frac{1}{2x})^x = \lim_{x \to -\infty} 2^x = 0$

問題3: $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{3\theta}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{\frac{\theta}{2}}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

問題4: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - x^2} - \sqrt{2x - x^2})$

この極限は、$x$が非常に大きいとき、$x-x^2$ と $2x-x^2$ が負になるため、実数の範囲では定義できません。しかし、問題文では特に指定がないので、形式的に計算を進めてみます。

$\sqrt{x - x^2} - \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{-x^2 + x} - \sqrt{-x^2 + 2x} = \sqrt{-x^2(1 - \frac{1}{x})} - \sqrt{-x^2(1 - \frac{2}{x})} = |x|(\sqrt{-1 + \frac{1}{x}} - \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}) = x(\sqrt{-1 + \frac{1}{x}} - \sqrt{-1 + \frac{2}{x}})$

$x$が十分大きい時、$\frac{1}{x}$と$\frac{2}{x}$は小さくなるので、$\sqrt{-1+\frac{1}{x}} \approx \sqrt{-1}$と$\sqrt{-1+\frac{2}{x}}\approx \sqrt{-1}$と近似でき、実数値は得られない。

しかし、与式に$x < 0$を代入して考えると、与式は定義される。そこで、

$\sqrt{x - x^2} - \sqrt{2x - x^2} = \frac{(x - x^2) - (2x - x^2)}{\sqrt{x - x^2} + \sqrt{2x - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{x - x^2} + \sqrt{2x - x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$x-x^2 < 0$ と $2x-x^2 < 0$ なので、与式は実数の範囲で定義できない。

したがって、実数の範囲でこの極限は存在しません。

3. 最終的な答え

1. $\frac{1}{\sqrt{e}}$

2. 0

3. $\frac{1}{6}$

4. 実数の範囲で定義されない