与えられた2つの関数について、極値を求める問題です。 (1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ (2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、極値を求める問題です。

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の極値を求める。

* まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

* 求めた $x$ の値に対して、$f''(x)$ を計算し、$f''(x) > 0$ ならば極小、$f''(x) < 0$ ならば極大となる。

* 極値を与える $x$ の値を $f(x)$ に代入し、極値を計算する。

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$ の極値を求める。

* まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

* 積の微分公式を用いる。 $f'(x) = (x^2)'e^{-2x} + x^2(e^{-2x})' = 2xe^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x} = 2xe^{-2x} - 2x^2e^{-2x} = 2xe^{-2x}(1 - x)$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。 $2xe^{-2x}(1 - x) = 0$ より、$x = 0, 1$

* $f''(x)$を計算する。$f''(x) = (2xe^{-2x} - 2x^2e^{-2x})' = (2x)'e^{-2x} + 2x(e^{-2x})' - (2x^2)'e^{-2x} - 2x^2(e^{-2x})' = 2e^{-2x} -4xe^{-2x} - 4xe^{-2x} + 4x^2e^{-2x} = 2e^{-2x} - 8xe^{-2x} + 4x^2e^{-2x} = 2e^{-2x}(1-4x+2x^2)$

* $x=0$のとき、$f''(0) = 2e^0(1-0+0) = 2 > 0$より、極小値を取る。$f(0) = 0$。

* $x=1$のとき、$f''(1) = 2e^{-2}(1-4+2) = -2e^{-2} < 0$より、極大値を取る。$f(1) = 1^2 e^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$。

3. 最終的な答え

(1)

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ より、$x = 1, 3$

$f''(x) = -6x + 12$

$f''(1) = -6(1) + 12 = 6 > 0$ より、$x = 1$ で極小値 $f(1) = -1 + 6 - 9 + 1 = -3$ をとる。

$f''(3) = -6(3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0$ より、$x = 3$ で極大値 $f(3) = -27 + 54 - 27 + 1 = 1$ をとる。

(2)

極小値：$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$

極大値：$x = 1$ のとき、$f(1) = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$