次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$

## 問題の解答

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x})$ について

$\cos(\frac{1}{x})$ は $-1$ から $1$ の間の値をとります。したがって、

$-1 \leq \cos(\frac{1}{x}) \leq 1$

両辺に $x$ を掛けます。$x$ が正のときと負のときで不等号の向きが変わりますが、$x \to 0$ を考えるので、いずれの場合も $x$ または $-x$ が $0$ に近づきます。

$-|x| \leq x \cos(\frac{1}{x}) \leq |x|$

ここで、$x \to 0$ のとき、 $-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ について

$\sin x$ は $-1$ から $1$ の間の値をとります。

$-1 \leq \sin x \leq 1$

両辺を $x$ で割ります。$x \to \infty$ のとき、$x$ は正なので不等号の向きは変わりません。

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、 $-\frac{1}{x} \to 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$ について

$\cos x$ は $-1$ から $1$ の間の値をとります。

$-1 \leq \cos x \leq 1$

両辺を $x$ で割ります。$x \to \infty$ のとき、$x$ は正なので不等号の向きは変わりません。

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\cos x}{x} \leq \frac{1}{x}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、 $-\frac{1}{x} \to 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$