定積分 $\int_{-1}^{3} |x^2 - 4| dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} |x^2 - 4| dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - 4|$ の絶対値を外します。

$x^2 - 4 = 0$ となる $x$ は $x = \pm 2$ です。

したがって、積分範囲を $-1 \leq x \leq 3$ で考えると、

- $-1 \leq x \leq 2$ のとき、$x^2 - 4 \leq 0$ なので $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$

- $2 \leq x \leq 3$ のとき、$x^2 - 4 \geq 0$ なので $|x^2 - 4| = x^2 - 4$

したがって、積分を2つに分割します。

$\int_{-1}^{3} |x^2 - 4| dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (4 - x^2) dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(-1) - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-4 + \frac{1}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{3} = 12 - \frac{9}{3} = 12 - 3 = 9$

$\int_{2}^{3} (x^2 - 4) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{2}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 4(3)\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 4(2)\right) = \left(9 - 12\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 - \frac{8}{3} + 8 = 5 - \frac{8}{3} = \frac{15 - 8}{3} = \frac{7}{3}$

したがって、

$\int_{-1}^{3} |x^2 - 4| dx = 9 + \frac{7}{3} = \frac{27 + 7}{3} = \frac{34}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{34}{3}$