与えられた三角関数の式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin(\theta)$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin(\theta)$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

三角関数の加法定理を利用して、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ と $\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ を展開する。

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

これらの公式を用いて、以下の式を計算する。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

したがって、与えられた式は

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin\theta = (\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) + (\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) - \sin\theta$

$= \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \sin\theta$

$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1)\sin\theta + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})\cos\theta$

$= (1 - 1)\sin\theta + 0\cos\theta$

$= 0$

3. 最終的な答え

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