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関数 $y = 2(\sin\theta + \cos\theta) + 2\sin\theta\cos\theta - 3$ （$0 \le \theta \le \pi$）について、次の問いに答える。 (1) $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$y$ を $t$ で表す。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) $y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

解析学三角関数最大値最小値関数の合成三角関数の合成
2025/6/29

1. 問題の内容

関数 y=2(sin⁡θ+cos⁡θ)+2sin⁡θcos⁡θ−3y = 2(\sin\theta + \cos\theta) + 2\sin\theta\cos\theta - 3 （0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi）について、次の問いに答える。
(1) t=sin⁡θ+cos⁡θt = \sin\theta + \cos\theta とおくとき、yy を tt で表す。
(2) tt のとりうる値の範囲を求める。
(3) yy の最大値と最小値を求め、そのときの θ\theta の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) t=sin⁡θ+cos⁡θt = \sin\theta + \cos\theta より、
t2=(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θt^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta
よって、2sin⁡θcos⁡θ=t2−12\sin\theta\cos\theta = t^2 - 1
したがって、y=2t+(t2−1)−3=t2+2t−4y = 2t + (t^2 - 1) - 3 = t^2 + 2t - 4
(2) t=sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})
0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi より、π4≤θ+π4≤5π4\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}
よって、−12≤sin⁡(θ+π4)≤1-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1
したがって、−1≤2sin⁡(θ+π4)≤2-1 \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}
ゆえに、−1≤t≤2-1 \le t \le \sqrt{2}
(3) y=t2+2t−4=(t+1)2−5y = t^2 + 2t - 4 = (t+1)^2 - 5
−1≤t≤2-1 \le t \le \sqrt{2} における yy の最大値と最小値を求める。
t=−1t = -1 のとき、y=(−1+1)2−5=−5y = (-1+1)^2 - 5 = -5
t=2t = \sqrt{2} のとき、y=(2+1)2−5=2+22+1−5=22−2y = (\sqrt{2}+1)^2 - 5 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 5 = 2\sqrt{2} - 2
t=−1t = -1 のとき、2sin⁡(θ+π4)=−1\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1 より、sin⁡(θ+π4)=−12\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}
π4≤θ+π4≤5π4\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} を満たす θ+π4\theta + \frac{\pi}{4} は 5π4\frac{5\pi}{4} である。
よって、θ+π4=5π4\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} より、θ=π\theta = \pi
t=2t = \sqrt{2} のとき、2sin⁡(θ+π4)=2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} より、sin⁡(θ+π4)=1\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1
π4≤θ+π4≤5π4\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} を満たす θ+π4\theta + \frac{\pi}{4} は π2\frac{\pi}{2} である。
よって、θ+π4=π2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} より、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}

3. 最終的な答え

(1) y=t2+2t−4y = t^2 + 2t - 4
(2) −1≤t≤2-1 \le t \le \sqrt{2}
(3) 最大値：22−22\sqrt{2}-2 （θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}のとき）、最小値：−5-5 （θ=π\theta = \piのとき）

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