$S = \frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$S = \frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。一般項は $\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}$ と表せます。この分母を有理化すると、

$\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}} = \frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{(\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-3})(\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3})} = \frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{(4n+1)-(4n-3)} = \frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{4}$

となります。

したがって、与えられた和 $S$ は

$S = \frac{\sqrt{5}-1}{4} + \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4} + \cdots + \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4}$

と書き換えることができます。これはtelescoping sum（項が次々と打ち消し合う和）ですので、

$S = \frac{-\sqrt{1} + \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$