$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、関数 $y = \cos 2x + \sin x$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、関数 $y = \cos 2x + \sin x$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x$ を $\sin x$ を用いて書き換えます。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$y = 1 - 2\sin^2 x + \sin x$

ここで $t = \sin x$ とおくと、 $-1 \le t \le 1$ であり、

$y = -2t^2 + t + 1$

これは $t$ の二次関数なので、平方完成することで最大値、最小値を求めます。

$y = -2(t^2 - \frac{1}{2}t) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

したがって、

$t = \frac{1}{4}$ のとき、最大値 $\frac{9}{8}$ をとります。

$t = -1$ のとき、最小値 $y = -2(-1)^2 + (-1) + 1 = -2$ をとります。

次に、最大値、最小値をとる $x$ の値を求めます。

最大値をとるとき、$\sin x = \frac{1}{4}$

$x = \arcsin(\frac{1}{4})$, $\pi - \arcsin(\frac{1}{4})$

最小値をとるとき、$\sin x = -1$

$x = \frac{3}{2}\pi$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{8}$ ($x = \arcsin(\frac{1}{4})$, $\pi - \arcsin(\frac{1}{4})$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = \frac{3}{2}\pi$ のとき)