与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は以下の通りです。 $S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は以下の通りです。

$S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

2. 解き方の手順

この数列の各項は、部分分数分解を用いて変形できます。

一般項 $\frac{1}{k(k+1)}$ は、次のように分解できます。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$

$1 = A(k+1) + Bk$

$k=0$のとき、$1 = A(0+1) + B(0) \Rightarrow A = 1$

$k=-1$のとき、$1 = A(-1+1) + B(-1) \Rightarrow B = -1$

したがって、

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

元の和をこの分解を用いて書き換えると、

$S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

この和は、隣り合う項が互いに打ち消し合うtelescoping sum（望遠鏡和）の形になります。

残るのは最初の項と最後の項のみです。

$S = 1 - \frac{1}{n+1}$

$S = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1}$

$S = \frac{n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{n+1}$