次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+x})$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+x})$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中の分数を計算します。

$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+x} = \frac{a+x}{a(a+x)} - \frac{a}{a(a+x)} = \frac{a+x-a}{a(a+x)} = \frac{x}{a(a+x)}$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{x}{a(a+x)})$

$\frac{1}{x}$ と $\frac{x}{a(a+x)}$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{a(a+x)}$

$x$ が 0 に近づくとき、$\frac{1}{a(a+x)}$ は $\frac{1}{a(a+0)} = \frac{1}{a^2}$ に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{a(a+x)} = \frac{1}{a^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a^2}$