不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を求めます。

問題 4 を解きます。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$1 = A(x^2 + 3x + 2) + B(x+2) + C(x^2 + 2x + 1)$

$1 = (A+C)x^2 + (3A+B+2C)x + (2A+2B+C)$

係数を比較して、次の連立方程式を得ます。

$A+C = 0$

$3A+B+2C = 0$

$2A+2B+C = 1$

最初の式から、$C=-A$ です。

2番目の式に代入すると、$3A+B-2A=0$ より、$A+B=0$なので、$B=-A$ です。

3番目の式に代入すると、$2A-2A-A=1$ より、$A=-1$ です。

したがって、$A = -1$, $B = 1$, $C = 1$ です。

よって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

積分は、

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left(-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$