$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$ 両辺に $(x+1)^2(x+2)$ をかけると $1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

## 問題の解答

画像に写っている積分問題のうち、問題4から問題6までを解きます。

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4. 問題の内容

次の積分を計算します。

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$

### 解き方の手順

1. 部分分数分解を行います。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ をかけると

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

2. 係数 $A, B, C$ を決定します。

* $x = -1$ を代入すると、$1 = B(-1+2)$ より、$B=1$

* $x = -2$ を代入すると、$1 = C(-2+1)^2$ より、$C=1$

* $x = 0$ を代入すると、$1 = A(1)(2) + B(2) + C(1)$。これに $B=1, C=1$ を代入すると、$1 = 2A + 2 + 1$ より、$2A = -2$ で、$A=-1$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

3. 積分を実行します。

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln\left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

### 最終的な答え

$\ln\left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

###

5. 問題の内容

次の積分を計算します。

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$

### 解き方の手順

1. 部分分数分解を行います。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ をかけると

$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$

2. 係数 $A, B, C$ を決定します。

* $x = 0$ を代入すると、$5 = 5A$ より、$A = 1$

* $x+5 = A(x^2+4x+5) + Bx^2 + Cx = x^2+4x+5 + Bx^2+Cx = (1+B)x^2 + (4+C)x + 5$

$x^2$の係数を比較すると、$0=1+B$ より、$B = -1$

$x$の係数を比較すると、$1 = 4+C$ より、$C = -3$

したがって、

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5}$

3. 積分を実行します。

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x+3}{x^2+4x+5} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

$= \ln|x| - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

ここで、$x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1$ であることに注意して、$\int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$ を計算します。

$\int \frac{x+3}{(x+2)^2 + 1} dx = \int \frac{(x+2)+1}{(x+2)^2 + 1} dx = \int \frac{x+2}{(x+2)^2+1}dx + \int \frac{1}{(x+2)^2+1}dx$

$u = x^2+4x+5$ とおくと、$du = (2x+4)dx = 2(x+2)dx$。したがって、$\int \frac{x+2}{x^2+4x+5}dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| = \frac{1}{2} \ln|x^2+4x+5|$.

また、$\int \frac{1}{(x+2)^2+1}dx = \arctan(x+2)$.

したがって、

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

### 最終的な答え

$\ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

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6. 問題の内容

次の積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^3+1} dx$

### 解き方の手順

1. 因数分解します。 $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

2. 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ をかけると

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

3. 係数を決定します。

* $x=-1$ を代入すると、$1 = A(1+1+1) = 3A$。したがって、$A = \frac{1}{3}$

* $1 = \frac{1}{3}(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + Bx^2 + Bx + Cx + C = (\frac{1}{3}+B)x^2 + (-\frac{1}{3}+B+C)x + (\frac{1}{3}+C)$

* $x^2$ の係数を比較すると、$0 = \frac{1}{3} + B$。したがって、$B = -\frac{1}{3}$

* 定数項を比較すると、$1 = \frac{1}{3} + C$。したがって、$C = \frac{2}{3}$

したがって、$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x + 2/3}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

4. 積分を実行します。

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \left( \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx \right)$

$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$

$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$=-\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$x^2 - x + 1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ より、$t = x-\frac{1}{2}$ とおくと、$dt = dx$。

$\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \int \frac{1}{t^2 + (\sqrt{3}/2)^2} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2t}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$

$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2} \ln(x^2-x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \ln(x^2-x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) \right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

### 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$