次の不定積分を計算します。 $\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx$

はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、問題(1)を解きます。

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx$

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(x+1)(2x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{2x+1}$

とおきます。両辺に$(x+1)(2x+1)$を掛けると、

$1 = A(2x+1) + B(x+1)$

となります。

$x=-1$を代入すると、

$1 = A(-2+1) + B(0)$

$1 = -A$

$A = -1$

$x=-\frac{1}{2}$を代入すると、

$1 = A(0) + B(-\frac{1}{2}+1)$

$1 = \frac{1}{2} B$

$B = 2$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)(2x+1)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{2x+1}$

よって、

$\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{2}{2x+1} dx$

$= -\ln |x+1| + \ln |2x+1| + C$

$= \ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| + C$