与えられた関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数は区間によって定義されており、 $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \leq x \leq 0) \\ 2 & (0 \leq x \leq 2) \end{cases}$ で与えられます。周期関数であると仮定されています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数は区間によって定義されており、

$f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \leq x \leq 0) \\ 2 & (0 \leq x \leq 2) \end{cases}$

で与えられます。周期関数であると仮定されています。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の周期を $T=4$ とします。フーリエ級数展開は以下の形で表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(\frac{2\pi nx}{T}) + b_n \sin(\frac{2\pi nx}{T}) \right)$

ここで、$T=4$ なので、

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(\frac{\pi nx}{2}) + b_n \sin(\frac{\pi nx}{2}) \right)$

係数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ は以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) dx$

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(\frac{2\pi nx}{T}) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \cos(\frac{\pi nx}{2}) dx$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin(\frac{2\pi nx}{T}) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \sin(\frac{\pi nx}{2}) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{0} (-2) dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2) dx = \frac{1}{2} [-2x]_{-2}^{0} + \frac{1}{2} [2x]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(0 - 4) + \frac{1}{2}(4 - 0) = -2 + 2 = 0$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{0} (-2) \cos(\frac{\pi nx}{2}) dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2) \cos(\frac{\pi nx}{2}) dx = -\int_{-2}^{0} \cos(\frac{\pi nx}{2}) dx + \int_{0}^{2} \cos(\frac{\pi nx}{2}) dx$

$a_n = -\left[ \frac{2}{\pi n} \sin(\frac{\pi nx}{2}) \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{2}{\pi n} \sin(\frac{\pi nx}{2}) \right]_{0}^{2} = -\frac{2}{\pi n}(\sin(0) - \sin(-\pi n)) + \frac{2}{\pi n}(\sin(\pi n) - \sin(0)) = 0$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{0} (-2) \sin(\frac{\pi nx}{2}) dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2) \sin(\frac{\pi nx}{2}) dx = -\int_{-2}^{0} \sin(\frac{\pi nx}{2}) dx + \int_{0}^{2} \sin(\frac{\pi nx}{2}) dx$

$b_n = \left[ \frac{2}{\pi n} \cos(\frac{\pi nx}{2}) \right]_{-2}^{0} - \left[ \frac{2}{\pi n} \cos(\frac{\pi nx}{2}) \right]_{0}^{2} = \frac{2}{\pi n}(\cos(0) - \cos(-\pi n)) - \frac{2}{\pi n}(\cos(\pi n) - \cos(0))$

$b_n = \frac{2}{\pi n}(1 - \cos(\pi n)) - \frac{2}{\pi n}(\cos(\pi n) - 1) = \frac{4}{\pi n}(1 - \cos(\pi n))$

$n$ が偶数のとき、$\cos(\pi n) = 1$ なので、$b_n = 0$

$n$ が奇数のとき、$\cos(\pi n) = -1$ なので、$b_n = \frac{8}{\pi n}$

したがって、$b_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \frac{8}{\pi n} & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$

フーリエ級数は、

$f(x) = \sum_{n=1,3,5,...}^{\infty} \frac{8}{\pi n} \sin(\frac{\pi nx}{2}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{\pi (2k+1)} \sin(\frac{\pi (2k+1)x}{2})$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{\pi (2k+1)} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$