問題4: $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。 問題5: $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。 問題6: $\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、問題4、問題5、問題6を解きます。

1. 問題の内容

問題4: $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

問題5: $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。

問題6: $\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

問題4: 部分分数分解を行います。

$$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けると、

$$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$$

$x = -1$ を代入すると、$1 = B(-1+2) \implies B = 1$

$x = -2$ を代入すると、$1 = C(-2+1)^2 \implies C = 1$

$x = 0$ を代入すると、$1 = A(1)(2) + B(2) + C(1) \implies 1 = 2A + 2 + 1 \implies 2A = -2 \implies A = -1$

よって、

$$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$$

したがって、

$$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$$

$$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C = \ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$$

問題5: 部分分数分解を行います。

$$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ を掛けると、

$$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$$

$$x+5 = Ax^2 + 4Ax + 5A + Bx^2 + Cx$$

$$x+5 = (A+B)x^2 + (4A+C)x + 5A$$

係数を比較すると、

$A+B = 0$, $4A+C = 1$, $5A = 5 \implies A = 1$

$A = 1$ より、$B = -1$, $C = 1-4A = 1-4 = -3$

よって、

$$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5} = \frac{1}{x} - \frac{x+3}{x^2+4x+5}$$

$$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$$

ここで、$\int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+6}{x^2+4x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4+2}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx + \int \frac{1}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{1}{2} \ln|x^2+4x+5| + \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx$

$= \frac{1}{2} \ln|x^2+4x+5| + \arctan(x+2) + C$

したがって、

$$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|x^2+4x+5| - \arctan(x+2) + C$$

問題6:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ より、

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$$

両辺に $x^3+1$ を掛けると、

$$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$$

$$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$$

$$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$$

係数を比較すると、

$A+B = 0$, $-A+B+C = 0$, $A+C = 1$

$A+B = 0$ より、$B = -A$

$A+C = 1$ より、$C = 1-A$

$-A+B+C = -A-A+1-A = 1-3A = 0 \implies A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$, $C = \frac{2}{3}$

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x + (2/3)}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$$

$$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$

3. 最終的な答え

問題4: $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$

問題5: $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|x^2+4x+5| - \arctan(x+2) + C$

問題6: $\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$