与えられた積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

##

4. (4) $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。まず、被積分関数を以下のように分解します。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ をかけると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

この式が任意の $x$ について成り立つように、$A, B, C$ を決定します。

* $x = -1$ のとき: $1 = B(-1+2) = B$ より、$B = 1$.

* $x = -2$ のとき: $1 = C(-2+1)^2 = C$ より、$C = 1$.

元の式に $B=1$ および $C=1$ を代入すると、

$1 = A(x+1)(x+2) + (x+2) + (x+1)^2$

$1 = A(x^2+3x+2) + x+2 + x^2+2x+1$

$1 = A(x^2+3x+2) + x^2 + 3x + 3$

$0 = (A+1)x^2 + (3A+3)x + (2A+2)$

これより、$A+1 = 0$ なので、$A = -1$.

したがって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

よって、積分は

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln \left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

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##

5. (6) $\int \frac{1}{x^3+1}dx$

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{x^3+1}dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。まず、$x^3+1$ を因数分解すると、

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

したがって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ をかけると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数比較により、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$B = -A$

$-A - A + C = 0 \Rightarrow C = 2A$

$A + 2A = 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

$C = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

積分は、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$