与えられた積分を計算します。 問題4: $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ 問題5: $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ 問題6: $\int \frac{1}{x^3+1} dx$

はい、承知いたしました。問題4, 5, 6について解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

問題4: $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$

問題5: $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$

問題6: $\int \frac{1}{x^3+1} dx$

2. 解き方の手順

問題4:

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ をかけると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$x = -1$ のとき $1 = B(-1+2) = B$ よって $B = 1$

$x = -2$ のとき $1 = C(-2+1)^2 = C$ よって $C = 1$

$x = 0$ のとき $1 = A(1)(2) + B(2) + C(1) = 2A + 2B + C$

$1 = 2A + 2(1) + 1$ よって $2A = -2$ より $A = -1$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln\left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

問題5:

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ をかけると、

$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$

$x+5 = Ax^2 + 4Ax + 5A + Bx^2 + Cx$

$x+5 = (A+B)x^2 + (4A+C)x + 5A$

係数比較より、

$A+B = 0$

$4A+C = 1$

$5A = 5$ よって $A = 1$

$A+B = 0$ より $1+B = 0$ よって $B = -1$

$4A+C = 1$ より $4(1)+C = 1$ よって $C = -3$

したがって、

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5} = \frac{1}{x} - \frac{x+2}{x^2+4x+5} - \frac{1}{x^2+4x+5}$

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x+2}{x^2+4x+5} - \frac{1}{x^2+4x+5} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+2}{x^2+4x+5} dx - \int \frac{1}{x^2+4x+5} dx$

$= \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx$

$= \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

問題6:

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \int \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ をかけると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数比較より、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

$A+B = 0$ より $B = -A$

$A+C = 1$ より $C = 1-A$

$-A+B+C = -A-A+1-A = -3A+1 = 0$ よって $A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

$C = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x+2/3}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$

3. 最終的な答え

問題4: $\ln\left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

問題5: $\ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

問題6: $\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$