定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin\left|\frac{x-\pi}{3}\right| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin\left|\frac{x-\pi}{3}\right| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中身 $\frac{x-\pi}{3}$ が正になる区間と負になる区間を考えます。

$\frac{x-\pi}{3} \geq 0$ となるのは $x \geq \pi$ のときです。

$\frac{x-\pi}{3} < 0$ となるのは $x < \pi$ のときです。

したがって、積分区間を $[0, \pi]$ と $[\pi, 2\pi]$ に分割して、絶対値をはずします。

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|\frac{x-\pi}{3}\right| dx = \int_{0}^{\pi} \sin\left(-\frac{x-\pi}{3}\right) dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin\left(\frac{x-\pi}{3}\right) dx$

三角関数の性質より、$\sin(-x) = -\sin(x)$ なので、

$\int_{0}^{\pi} \sin\left(-\frac{x-\pi}{3}\right) dx = -\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{x-\pi}{3}\right) dx$

したがって、積分は

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|\frac{x-\pi}{3}\right| dx = -\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{x-\pi}{3}\right) dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin\left(\frac{x-\pi}{3}\right) dx$

ここで、$u = \frac{x-\pi}{3}$ と置換すると、$x = 3u + \pi$ となり、$dx = 3du$ となります。

$x$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$u$ は $\frac{0-\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ から $\frac{\pi-\pi}{3} = 0$ まで変化します。

$x$ が $\pi$ から $2\pi$ まで変化するとき、$u$ は $\frac{\pi-\pi}{3} = 0$ から $\frac{2\pi-\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ まで変化します。

$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{x-\pi}{3}\right) dx = \int_{-\pi/3}^{0} \sin(u) \cdot 3 du = 3 \int_{-\pi/3}^{0} \sin(u) du = 3[-\cos(u)]_{-\pi/3}^{0} = 3[-\cos(0) + \cos(-\pi/3)] = 3[-1 + \frac{1}{2}] = 3[-\frac{1}{2}] = -\frac{3}{2}$

$\int_{\pi}^{2\pi} \sin\left(\frac{x-\pi}{3}\right) dx = \int_{0}^{\pi/3} \sin(u) \cdot 3 du = 3 \int_{0}^{\pi/3} \sin(u) du = 3[-\cos(u)]_{0}^{\pi/3} = 3[-\cos(\pi/3) + \cos(0)] = 3[-\frac{1}{2} + 1] = 3[\frac{1}{2}] = \frac{3}{2}$

よって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|\frac{x-\pi}{3}\right| dx = - (-\frac{3}{2}) + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$

3. 最終的な答え

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