与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。 $2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{2x} + 2\sin{x})^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。

$2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{2x} + 2\sin{x})^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(\sin{2x} + 2\sin{x})^2 = \sin^2{2x} + 4\sin{2x}\sin{x} + 4\sin^2{x}$

次に、倍角の公式 $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ を用いて、式を書き換えます。

$\sin^2{2x} + 4\sin{2x}\sin{x} + 4\sin^2{x} = (2\sin{x}\cos{x})^2 + 4(2\sin{x}\cos{x})\sin{x} + 4\sin^2{x}$

$= 4\sin^2{x}\cos^2{x} + 8\sin^2{x}\cos{x} + 4\sin^2{x}$

$= 4\sin^2{x}(\cos^2{x} + 2\cos{x} + 1) = 4\sin^2{x}(\cos{x}+1)^2$

積分を計算します。

$2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^2{x}(\cos{x}+1)^2 dx = 8\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{x}(\cos^2{x} + 2\cos{x} + 1) dx$

$= 8\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{x}\cos^2{x} + 2\sin^2{x}\cos{x} + \sin^2{x} dx$

$= 8\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4}\sin^2{2x} + 2\sin^2{x}\cos{x} + \sin^2{x} dx$

$= 8\pi [\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{2x} dx + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{x}\cos{x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{x} dx]$

$\sin^2{2x} = \frac{1-\cos{4x}}{2}$ なので、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{2x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos{4x}}{2} dx = [\frac{x}{2} - \frac{\sin{4x}}{8}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{x}\cos{x} dx = [\frac{\sin^3{x}}{3}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}$

$\sin^2{x} = \frac{1-\cos{2x}}{2}$ なので、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos{2x}}{2} dx = [\frac{x}{2} - \frac{\sin{2x}}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$8\pi [\frac{1}{4} (\frac{\pi}{4}) + 2 (\frac{1}{3}) + \frac{\pi}{4}] = 8\pi [\frac{\pi}{16} + \frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}] = 8\pi [\frac{\pi}{16} + \frac{4\pi}{16} + \frac{2}{3}] = 8\pi [\frac{5\pi}{16} + \frac{2}{3}] = \frac{5\pi^2}{2} + \frac{16\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi^2}{2} + \frac{16\pi}{3}$