与えられた積分 $\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx$ を計算します。問題番号は 4-6(1) のようです。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx$ を計算します。問題番号は 4-6(1) のようです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。つまり、次の形に分解します。

$\frac{1}{(x+1)(2x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{2x+1}$

両辺に $(x+1)(2x+1)$ を掛けると、

$1 = A(2x+1) + B(x+1)$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、次の連立方程式が成り立てばよいです。

$2A + B = 0$

$A + B = 1$

この連立方程式を解きます。2番目の式から $B = 1 - A$ となり、これを1番目の式に代入すると、

$2A + (1 - A) = 0$

$A + 1 = 0$

$A = -1$

したがって、$B = 1 - (-1) = 2$ となります。

よって、

$\frac{1}{(x+1)(2x+1)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{2x+1}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx = \int \left(\frac{-1}{x+1} + \frac{2}{2x+1}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{2}{2x+1} dx$

$= -\ln|x+1| + \ln|2x+1| + C$

$= \ln\left|\frac{2x+1}{x+1}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{2x+1}{x+1}\right| + C$