(1) $\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx$ を計算します。 (2) $\int \frac{x^2}{x^2-1} dx$ を計算します。 (3) $\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx$ を計算します。

分かりました。画像に写っている積分問題のうち、問題(1)〜(3)を解いてみます。

1. 問題の内容

(1) $\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx$ を計算します。

(2) $\int \frac{x^2}{x^2-1} dx$ を計算します。

(3) $\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+1)(2x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{2x+1}$ とおきます。

$1 = A(2x+1) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、$1 = A(-2+1) = -A$ より $A = -1$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$1 = B(-\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2}B$ より $B = 2$

よって、

$\frac{1}{(x+1)(2x+1)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{2x+1}$

したがって、

$\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} \right) dx = -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{2}{2x+1} dx = -\ln|x+1| + \ln|2x+1| + C = \ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| + C$

(2) $\frac{x^2}{x^2-1} = \frac{x^2-1+1}{x^2-1} = 1 + \frac{1}{x^2-1}$ と変形します。

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ とおきます。

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\int \frac{x^2}{x^2-1} dx = \int \left( 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) \right) dx = \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = x + \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = x + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

(3) 部分分数分解を行います。

$\frac{3x+2}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ とおきます。

$3x+2 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$

$3x+2 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$

係数を比較して、$A+C = 0$, $A+B = 3$, $B = 2$

$A = 3-B = 3-2 = 1$

$C = -A = -1$

よって、

$\frac{3x+2}{x^2(x+1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x+1}$

$\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \int \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x| - \frac{2}{x} - \ln|x+1| + C = \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| - \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{(x+1)(2x+1)} dx = \ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| + C$

(2) $\int \frac{x^2}{x^2-1} dx = x + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

(3) $\int \frac{3x+2}{x^2(x+1)} dx = \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| - \frac{2}{x} + C$