不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像に示された積分問題を解きます。４から６まで、合計３つの問題を解くことになります。

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4. ∫ 1/((x+1)^2 (x+2)) dx**

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$x=-1$ を代入すると、$1 = B(-1+2) \Rightarrow B = 1$

$x=-2$ を代入すると、$1 = C(-2+1)^2 \Rightarrow C = 1$

$x=0$ を代入すると、$1 = A(1)(2) + B(2) + C(1) \Rightarrow 1 = 2A + 2 + 1 \Rightarrow 2A = -2 \Rightarrow A = -1$

よって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + \int (x+1)^{-2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right| - \frac{1}{x+1} + C$

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5. ∫ (x+5) / (x(x^2 + 4x + 5)) dx**

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。被積分関数を次のように分解します。

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ を掛けると、

$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$

$x+5 = Ax^2 + 4Ax + 5A + Bx^2 + Cx$

$x+5 = (A+B)x^2 + (4A+C)x + 5A$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$4A+C = 1$

$5A = 5$

したがって、$A=1$, $B=-1$, $C = 1-4A = 1-4 = -3$

よって、

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5} = \frac{1}{x} - \frac{x+3}{x^2+4x+5}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

第一項は $\ln|x| + C_1$

第二項を計算するために、分母を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$

$\int \frac{x+3}{(x+2)^2+1} dx = \int \frac{x+2+1}{(x+2)^2+1} dx = \int \frac{x+2}{(x+2)^2+1} dx + \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx$

$u = (x+2)^2+1$ とすると $du = 2(x+2) dx$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx = \frac{1}{2} \ln|u| + \arctan(x+2)$

$= \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) + \arctan(x+2) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

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6. ∫ 1/(x^3 + 1) dx**

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。まず、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$ と因数分解します。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

$B = -A$ を 2 番目の式に代入すると、$-A - A + C = 0 \Rightarrow C = 2A$

これを 3 番目の式に代入すると、$A + 2A = 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}$

$B = -A = -\frac{1}{3}$, $C = 2A = \frac{2}{3}$

よって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x + 2/3}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

第一項は $\frac{1}{3} \ln|x+1| + C_1$

第二項を計算するために、$x^2-x+1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ と平方完成します。

$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = \int \frac{-(x-1/2) + 3/2}{(x-1/2)^2 + 3/4} dx = -\int \frac{x-1/2}{(x-1/2)^2 + 3/4} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-1/2)^2 + 3/4} dx$

$u = (x-1/2)^2 + 3/4$ とすると $du = 2(x-1/2) dx$

$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} dx = -\frac{1}{2} \ln|u| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2}\right)$

$= -\frac{1}{2} \ln(x^2-x+1) + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C_2$

したがって、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$