(4) $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。 (5) $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。 (6) $\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像に写っている積分問題のうち、4番から6番までの問題を解きます。

1. 問題の内容

(4) $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

(5) $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。

(6) $\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(4) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$x = -1$ を代入すると、$1 = B(-1+2)$ より $B = 1$。

$x = -2$ を代入すると、$1 = C(-2+1)^2$ より $C = 1$。

$x = 0$ を代入すると、$1 = 2A + 2B + C$ より $1 = 2A + 2 + 1$。したがって、$2A = -2$, $A = -1$。

よって、

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln \left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

(5) 部分分数分解を行います。

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ を掛けると、

$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$

$x+5 = Ax^2+4Ax+5A + Bx^2+Cx$

係数を比較すると、$A+B=0$, $4A+C=1$, $5A=5$。

よって、$A=1$, $B=-1$, $C=-3$。

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

$= \ln|x| - \int \frac{x+2}{x^2+4x+5} dx - \int \frac{1}{x^2+4x+5} dx$

$= \ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x^2+4x+5| - \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx$

$= \ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x^2+4x+5| - \arctan(x+2) + C$

(6) $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ なので、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $x^3+1$ を掛けると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

係数を比較すると、$A+B=0$, $-A+B+C=0$, $A+C=1$。

$A=1-C$より、$1-C+B=0$, $-(1-C)+B+C=0$。よって、$1-C+B=0$, $-1+2C+B=0$。

2式を引き算すると、$2 = 0$となってしまうため、計算間違いです。

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$x=-1$を代入すると、$1 = A(1+1+1)$, よって$A=\frac{1}{3}$。

$1 = \frac{1}{3}(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$3 = x^2-x+1 + (Bx+C)(3x+3)$

$2+x-x^2=(3Bx+3C)(x+1) = 3Bx^2 + 3Bx + 3Cx + 3C$

$3Bx^2=-x^2$, $3Bx+3C=-x$, $3C = 2$

$B=-\frac{1}{3}, C=\frac{2}{3}$

よって、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \int (\frac{\frac{1}{3}}{x+1} + \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1}) dx$

$=\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

$=\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1 -3}{x^2-x+1}dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

$= \frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

(4) $\ln \left| \frac{x+2}{x+1} \right| - \frac{1}{x+1} + C$

(5) $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x^2+4x+5| - \arctan(x+2) + C$

(6) $\frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$