次の3つの関数をxで微分する問題です。 (1) $5\sin(7x) + 2\cos(2x)$ (2) $3e^{5x}$ (3) $\sqrt{x^2-3}$

1. 問題の内容

次の3つの関数をxで微分する問題です。

(1) $5\sin(7x) + 2\cos(2x)$

(2) $3e^{5x}$

(3) $\sqrt{x^2-3}$

2. 解き方の手順

(1) $5\sin(7x) + 2\cos(2x)$ の微分

三角関数の微分公式と合成関数の微分公式を利用します。

$\frac{d}{dx}(\sin(ax)) = a\cos(ax)$

$\frac{d}{dx}(\cos(ax)) = -a\sin(ax)$

よって、

$\frac{d}{dx}(5\sin(7x) + 2\cos(2x)) = 5 \cdot 7\cos(7x) + 2 \cdot (-2)\sin(2x) = 35\cos(7x) - 4\sin(2x)$

(2) $3e^{5x}$ の微分

指数関数の微分公式と合成関数の微分公式を利用します。

$\frac{d}{dx}(e^{ax}) = ae^{ax}$

よって、

$\frac{d}{dx}(3e^{5x}) = 3 \cdot 5e^{5x} = 15e^{5x}$

(3) $\sqrt{x^2-3}$ の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

この問題では、$f(x) = x^2 - 3$ なので、$f'(x) = 2x$

よって、

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-3}) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2-3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-3}}$

3. 最終的な答え

(1) $35\cos(7x) - 4\sin(2x)$

(2) $15e^{5x}$

(3) $\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}$