関数 $y = xe^{-x}$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-x}$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $x$ で微分して導関数 $y'$ を求めます。積の微分公式を使うと、

$y' = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$e^{-x}(1 - x) = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$1 - x = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - x = 0$

$x = 1$

次に、 $x = 1$ の前後で $y'$ の符号を調べます。

* $x < 1$ のとき、$1 - x > 0$ なので、$y' > 0$

* $x > 1$ のとき、$1 - x < 0$ なので、$y' < 0$

したがって、$x = 1$ で、$y'$ の符号が正から負に変わるので、$x = 1$ で極大値を取ります。

$x = 1$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

したがって、関数 $y = xe^{-x}$ は $x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ を取ります。

3. 最終的な答え

$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。