以下の4つの関数の微分を計算する問題です。 (1) $(x^2 - 1)^4$ (2) $x^2e^{-3x}$ (3) $2\sin(2x)$ (4) $e^{-4x}\sin(x)$

1. 問題の内容

以下の4つの関数の微分を計算する問題です。

(1) $(x^2 - 1)^4$

(2) $x^2e^{-3x}$

(3) $2\sin(2x)$

(4) $e^{-4x}\sin(x)$

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 - 1)^4$ の微分：

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を使います。

$f(u) = u^4$ と $g(x) = x^2 - 1$ とすると、

$f'(u) = 4u^3$ と $g'(x) = 2x$ となります。

よって、

$((x^2 - 1)^4)' = 4(x^2 - 1)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2 - 1)^3$.

(2) $x^2e^{-3x}$ の微分：

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x^2$ と $v = e^{-3x}$ とすると、

$u' = 2x$ と $v' = -3e^{-3x}$ となります。

よって、

$(x^2e^{-3x})' = 2xe^{-3x} + x^2(-3e^{-3x}) = 2xe^{-3x} - 3x^2e^{-3x} = e^{-3x}(2x - 3x^2)$.

(3) $2\sin(2x)$ の微分：

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ と定数倍の微分公式 $(cf(x))' = cf'(x)$ を使います。

$f(u) = 2\sin(u)$ と $g(x) = 2x$ とすると、

$f'(u) = 2\cos(u)$ と $g'(x) = 2$ となります。

よって、

$(2\sin(2x))' = 2\cos(2x) \cdot 2 = 4\cos(2x)$.

(4) $e^{-4x}\sin(x)$ の微分：

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = e^{-4x}$ と $v = \sin(x)$ とすると、

$u' = -4e^{-4x}$ と $v' = \cos(x)$ となります。

よって、

$(e^{-4x}\sin(x))' = -4e^{-4x}\sin(x) + e^{-4x}\cos(x) = e^{-4x}(\cos(x) - 4\sin(x))$.

3. 最終的な答え

(1) $((x^2 - 1)^4)' = 8x(x^2 - 1)^3$

(2) $(x^2e^{-3x})' = e^{-3x}(2x - 3x^2)$

(3) $(2\sin(2x))' = 4\cos(2x)$

(4) $(e^{-4x}\sin(x))' = e^{-4x}(\cos(x) - 4\sin(x))$