次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

2. 解き方の手順

極限を計算するために、まず分母の有理化を行います。分母と分子に $\sqrt{x} + 2$ を掛けます。

$\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$

分母を展開します。

$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = x - 4$

したがって、

$\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}$

$x \ne 4$ のとき、$x-4$ で約分できます。

$\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} = \sqrt{x}+2$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x}+2)$

$x$ に 4 を代入します。

$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x}+2) = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4$

3. 最終的な答え

4