了解しました。画像に写っている積分問題を解きます。具体的にどの問題を解けば良いか指示がないため、４番から６番まで解きます。

了解しました。画像に写っている積分問題を解きます。具体的にどの問題を解けば良いか指示がないため、４番から６番まで解きます。

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1. 問題の内容**

4. $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$ を計算します。

5. $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$ を計算します。

6. $\int \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

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2. 解き方の手順**

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4. $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx$**

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $(x+1)^2(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2$

$x=-1$ のとき $1 = B(-1+2)$ より $B = 1$

$x=-2$ のとき $1 = C(-2+1)^2$ より $C = 1$

$x=0$ のとき $1 = 2A + 2B + C = 2A + 2 + 1$ より $2A = -2$ ゆえに $A = -1$

よって、

$\frac{1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+2}$

積分すると、

$\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = -\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x+2| + C$

$= \ln|\frac{x+2}{x+1}| - \frac{1}{x+1} + C$

* **

5. $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx$**

部分分数分解を行います。

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$

両辺に $x(x^2+4x+5)$ を掛けると、

$x+5 = A(x^2+4x+5) + (Bx+C)x$

$x+5 = (A+B)x^2 + (4A+C)x + 5A$

係数を比較すると、

$A+B=0$

$4A+C=1$

$5A=5$

よって $A=1$, $B=-1$, $C=-3$

$\frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} = \frac{1}{x} + \frac{-x-3}{x^2+4x+5}$

積分すると、

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

$= \ln|x| - \int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$

ここで、$\int \frac{x+3}{x^2+4x+5} dx$ を計算します。

$x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1$ と変形できるので、

$\int \frac{x+3}{(x+2)^2+1} dx$

$x+2=t$とおくと、$x=t-2$、$dx=dt$

$\int \frac{t+1}{t^2+1}dt = \int \frac{t}{t^2+1} dt + \int \frac{1}{t^2+1} dt$

$= \frac{1}{2}\ln(t^2+1) + \arctan(t) + C$

$= \frac{1}{2}\ln((x+2)^2+1) + \arctan(x+2) + C$

$= \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5) + \arctan(x+2) + C$

よって、

$\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

* **

6. $\int \frac{1}{x^3+1} dx$**

因数分解すると $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較すると、

$A+B=0$

$-A+B+C=0$

$A+C=1$

よって $A=\frac{1}{3}$, $B=-\frac{1}{3}$, $C=\frac{2}{3}$

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x+2/3}{x^2-x+1}$

積分すると、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

ここで、$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$ を計算します。

$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x-4}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x-1-3}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

よって、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

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3. 最終的な答え**

4. $\int \frac{1}{(x+1)^2(x+2)} dx = \ln|\frac{x+2}{x+1}| - \frac{1}{x+1} + C$

5. $\int \frac{x+5}{x(x^2+4x+5)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C$

6. $\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$