定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値の中身の符号によって積分区間を分割します。

$x - \frac{\pi}{3} \geq 0$ のとき、つまり $x \geq \frac{\pi}{3}$ のとき、$\left|x - \frac{\pi}{3}\right| = x - \frac{\pi}{3}$ となります。

$x - \frac{\pi}{3} < 0$ のとき、つまり $x < \frac{\pi}{3}$ のとき、$\left|x - \frac{\pi}{3}\right| = -(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - x$ となります。

したがって、積分区間を $[0, \frac{\pi}{3}]$ と $[\frac{\pi}{3}, 2\pi]$ に分割して計算します。

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx = \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx = \left[ -\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) + \cos(0) = -\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx = 1$

誤りがありました。修正します。

2. 解き方の手順

絶対値の中身の符号によって積分区間を分割します。

$x - \frac{\pi}{3} \geq 0$ のとき、つまり $x \geq \frac{\pi}{3}$ のとき、$\left|x - \frac{\pi}{3}\right| = x - \frac{\pi}{3}$ となります。

$x - \frac{\pi}{3} < 0$ のとき、つまり $x < \frac{\pi}{3}$ のとき、$\left|x - \frac{\pi}{3}\right| = -(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - x$ となります。

したがって、積分区間を $[0, \frac{\pi}{3}]$ と $[\frac{\pi}{3}, 2\pi]$ に分割して計算します。

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx = \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx = \left[ -\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) + \cos(0) = -\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + 1 = -(\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(\frac{\pi}{3} - x) dx = [\cos(\frac{\pi}{3} - x)]_0^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx = [-\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos(\frac{5\pi}{3}) + \cos(0) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$

最終的な答え

$\int_{0}^{2\pi} \sin|x - \frac{\pi}{3}|dx = 2$

3. 最終的な答え

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