与えられた積分を計算する問題です。 積分は以下の通りです。 $\int_{0}^{2\pi} \sin{|x - \frac{\pi}{3}|} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

積分は以下の通りです。

$\int_{0}^{2\pi} \sin{|x - \frac{\pi}{3}|} dx$

2. 解き方の手順

まず、絶対値を外すために積分範囲を分割します。

$|x - \frac{\pi}{3}| = \begin{cases} x - \frac{\pi}{3} & (x \geq \frac{\pi}{3}) \\ -x + \frac{\pi}{3} & (x < \frac{\pi}{3}) \end{cases}$

積分範囲を $[0, \frac{\pi}{3}]$ と $[\frac{\pi}{3}, 2\pi]$ に分割します。

$\int_{0}^{2\pi} \sin{|x - \frac{\pi}{3}|} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{(\frac{\pi}{3} - x)} dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin{(x - \frac{\pi}{3})} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{(\frac{\pi}{3} - x)} dx = [\cos{(\frac{\pi}{3} - x)}]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \cos{0} - \cos{\frac{\pi}{3}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin{(x - \frac{\pi}{3})} dx = [-\cos{(x - \frac{\pi}{3})}]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos{(2\pi - \frac{\pi}{3})} + \cos{0} = -\cos{(\frac{5\pi}{3})} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin{|x - \frac{\pi}{3}|} dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(\frac{\pi}{3} - x) dx = [\cos(\frac{\pi}{3} - x)]_0^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx = [-\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) + \cos(0) = -\cos(\frac{5\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

$\int_{0}^{2\pi} \sin{|x - \frac{\pi}{3}|} dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2.5$

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(\frac{\pi}{3}-x)dx = [\cos(\frac{\pi}{3}-x)]_0^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0)-\cos(\frac{\pi}{3})= 1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin(x-\frac{\pi}{3})dx = [-\cos(x-\frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos(\frac{5\pi}{3})+\cos(0)=-\frac{1}{2}+1=3/2$

$I_1+I_2=4/2=2$

よって

$\int_{0}^{2\pi} \sin{|x-\frac{\pi}{3}|}dx=1-1/2+1/2+1=3$

3. 最終的な答え

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