与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には以下の4つの数列の極限を求めます。 (1) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-n} - n}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^n + 4^{n+1}}{2^{2n} - 3^n}$ (4) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n-1} - 2^n}{3^n + (-2)^n}$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、それぞれ解説と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には以下の4つの数列の極限を求めます。

(1) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-n} - n}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^n + 4^{n+1}}{2^{2n} - 3^n}$

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n-1} - 2^n}{3^n + (-2)^n}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

有理化を行います。

$\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n} = \frac{(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

$= \frac{(n^2+n) - (n^2-n)}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

$= \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

$= \frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}} + n\sqrt{1-\frac{1}{n}}}$

$= \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-n} - n}$

有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{n^2-n} - n} = \frac{\sqrt{n^2-n} + n}{(\sqrt{n^2-n} - n)(\sqrt{n^2-n} + n)}$

$= \frac{\sqrt{n^2-n} + n}{(n^2-n) - n^2}$

$= \frac{\sqrt{n^2-n} + n}{-n}$

$= \frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n}} + n}{-n}$

$= -\sqrt{1-\frac{1}{n}} - 1$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} (-\sqrt{1-\frac{1}{n}} - 1) = -\sqrt{1} - 1 = -1 - 1 = -2$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^n + 4^{n+1}}{2^{2n} - 3^n}$

$4^{n+1}$で割ります。

$\frac{3^n + 4^{n+1}}{2^{2n} - 3^n} = \frac{3^n + 4^{n+1}}{4^n - 3^n} = \frac{4^{n+1} (\frac{3^n}{4^{n+1}}+1)}{4^n (1 - \frac{3^n}{4^n})}$

$= \frac{4(\frac{3}{4})^n + 4}{1 - (\frac{3}{4})^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{3}{4})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{4(\frac{3}{4})^n + 4}{1 - (\frac{3}{4})^n} = \frac{0 + 4}{1 - 0} = 4$

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n-1} - 2^n}{3^n + (-2)^n}$

$3^n$で割ります。

$\frac{3^{n-1} - 2^n}{3^n + (-2)^n} = \frac{\frac{1}{3} - (\frac{2}{3})^n}{1 + (-\frac{2}{3})^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{2}{3})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{3} - (\frac{2}{3})^n}{1 + (-\frac{2}{3})^n} = \frac{\frac{1}{3} - 0}{1 + 0} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -2

(3) 4

(4) $\frac{1}{3}$