SENSEI AI
About App

媒介変数表示された関数 $x = \cos\theta(1 + \cos\theta)$、$y = \sin\theta(1 - \cos\theta)$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) について、$\int_0^2 y dx$ を計算する問題です。

解析学積分媒介変数表示定積分三角関数
2025/6/29

1. 問題の内容

媒介変数表示された関数 x=cos⁡θ(1+cos⁡θ)x = \cos\theta(1 + \cos\theta)、y=sin⁡θ(1−cos⁡θ)y = \sin\theta(1 - \cos\theta) (0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}) について、∫02ydx\int_0^2 y dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、dxdxをdθd\thetaで表します。
x=cos⁡θ(1+cos⁡θ)=cos⁡θ+cos⁡2θx = \cos\theta(1 + \cos\theta) = \cos\theta + \cos^2\theta
より、
dxdθ=−sin⁡θ−2cos⁡θsin⁡θ=−sin⁡θ−sin⁡(2θ)\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin(2\theta)
したがって、
dx=(−sin⁡θ−sin⁡(2θ))dθdx = (-\sin\theta - \sin(2\theta)) d\theta
次に、積分区間をθ\thetaで表します。
x=0x=0のとき、cos⁡θ(1+cos⁡θ)=0\cos\theta(1 + \cos\theta) = 0 より、cos⁡θ=0\cos\theta = 0 なので、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}
x=2x=2のとき、cos⁡θ(1+cos⁡θ)=2\cos\theta(1 + \cos\theta) = 2 ですが、0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2} では cos⁡θ≤1\cos\theta \le 1 なので cos⁡θ(1+cos⁡θ)≤1(1+1)=2\cos\theta(1 + \cos\theta) \le 1(1+1)=2。 cos⁡θ=1\cos\theta = 1のときに等号成立するので、θ=0\theta = 0です。
したがって、積分区間はθ=π2\theta = \frac{\pi}{2}からθ=0\theta = 0になります。
与えられた積分は、
∫02ydx=∫π/20sin⁡θ(1−cos⁡θ)(−sin⁡θ−sin⁡(2θ))dθ\int_0^2 y dx = \int_{\pi/2}^0 \sin\theta(1 - \cos\theta) (-\sin\theta - \sin(2\theta)) d\theta
=∫0π/2sin⁡θ(1−cos⁡θ)(sin⁡θ+2sin⁡θcos⁡θ)dθ= \int_0^{\pi/2} \sin\theta(1 - \cos\theta) (\sin\theta + 2\sin\theta\cos\theta) d\theta
=∫0π/2sin⁡2θ(1−cos⁡θ)(1+2cos⁡θ)dθ= \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta(1 - \cos\theta)(1 + 2\cos\theta) d\theta
=∫0π/2sin⁡2θ(1+2cos⁡θ−cos⁡θ−2cos⁡2θ)dθ= \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta (1 + 2\cos\theta - \cos\theta - 2\cos^2\theta) d\theta
=∫0π/2sin⁡2θ(1+cos⁡θ−2cos⁡2θ)dθ= \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta (1 + \cos\theta - 2\cos^2\theta) d\theta
=∫0π/2sin⁡2θ+sin⁡2θcos⁡θ−2sin⁡2θcos⁡2θdθ= \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta + \sin^2\theta\cos\theta - 2\sin^2\theta\cos^2\theta d\theta
=∫0π/21−cos⁡(2θ)2dθ+∫0π/2sin⁡2θcos⁡θdθ−2∫0π/2sin⁡2θcos⁡2θdθ= \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta + \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\cos\theta d\theta - 2\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\cos^2\theta d\theta
=[θ2−sin⁡(2θ)4]0π/2+[sin⁡3θ3]0π/2−2∫0π/2(sin⁡θcos⁡θ)2dθ= \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_0^{\pi/2} + \left[ \frac{\sin^3\theta}{3} \right]_0^{\pi/2} - 2\int_0^{\pi/2} (\sin\theta\cos\theta)^2 d\theta
=π4+13−2∫0π/2(sin⁡(2θ)2)2dθ= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - 2\int_0^{\pi/2} \left(\frac{\sin(2\theta)}{2}\right)^2 d\theta
=π4+13−24∫0π/2sin⁡2(2θ)dθ= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{2}{4}\int_0^{\pi/2} \sin^2(2\theta) d\theta
=π4+13−12∫0π/21−cos⁡(4θ)2dθ= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} d\theta
=π4+13−14[θ−sin⁡(4θ)4]0π/2= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\left[ \theta - \frac{\sin(4\theta)}{4} \right]_0^{\pi/2}
=π4+13−14⋅π2=π4+13−π8=π8+13= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{3}

3. 最終的な答え

13+π8\frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}

「解析学」の関連問題

与えられた定積分の値を計算する問題です。積分は変数 $x$ に関して行われ、積分範囲は$-x$から$x$です。被積分関数は $\sin(t) - pt^2$ です。 $ \int_{-x}^{x} (...

定積分積分奇関数偶関数
2025/6/29

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx$ の値を求める問題です。

定積分絶対値三角関数積分
2025/6/29

関数 $y = \frac{3x+4}{2x+1}$ のグラフを描く問題であると推測されます。グラフの概形を把握するために、漸近線を求めます。

関数グラフ漸近線分数関数
2025/6/29

次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx$

定積分絶対値三角関数
2025/6/29

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin\left|\frac{x-\pi}{3}\right| dx$ を計算します。

定積分三角関数絶対値置換積分
2025/6/29

$\int_{0}^{2\pi} \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| dx$ を計算します。

積分絶対値三角関数
2025/6/29

与えられた積分を計算する問題です。 積分は以下の通りです。 $\int_{0}^{2\pi} \sin{|x - \frac{\pi}{3}|} dx$

積分絶対値三角関数定積分
2025/6/29

$\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx$ を計算する問題です。

積分絶対値三角関数定積分
2025/6/29

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には以下の4つの数列の極限を求めます。 (1) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$ (2) ...

極限数列有理化指数関数
2025/6/29

与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。 $2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{2x} + 2\sin{x})^2 dx$

定積分三角関数積分計算倍角の公式
2025/6/29