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次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 1$ (n=1, 2, 3, ......) (2) $a_1 = 3, a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3$ (n=1, 2, 3, ......)

解析学数列極限漸化式等比数列
2025/6/29

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 {an}\{a_n\} の極限を求めます。
(1) a1=1,an+1=13an+1a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 1 (n=1, 2, 3, ......)
(2) a1=3,an+1=−12an+3a_1 = 3, a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3 (n=1, 2, 3, ......)

2. 解き方の手順

(1)
数列 {an}\{a_n\} の極限が存在すると仮定し、その極限を α\alpha とします。つまり、lim⁡n→∞an=α\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha とします。
漸化式 an+1=13an+1a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 1 において、n→∞n \to \infty とすると、
lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞(13an+1)\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3}a_n + 1)
α=13α+1\alpha = \frac{1}{3}\alpha + 1
23α=1\frac{2}{3}\alpha = 1
α=32\alpha = \frac{3}{2}
次に、数列 {an−32}\{a_n - \frac{3}{2}\} を考えます。an−32a_n - \frac{3}{2} を bnb_n とおくと、bn=an−32b_n = a_n - \frac{3}{2} より an=bn+32a_n = b_n + \frac{3}{2} となります。
このとき、an+1=bn+1+32a_{n+1} = b_{n+1} + \frac{3}{2} となります。
漸化式 an+1=13an+1a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 1 に代入すると、
bn+1+32=13(bn+32)+1b_{n+1} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3}(b_n + \frac{3}{2}) + 1
bn+1=13bn+12+1−32b_{n+1} = \frac{1}{3}b_n + \frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{2}
bn+1=13bnb_{n+1} = \frac{1}{3}b_n
これは初項 b1=a1−32=1−32=−12b_1 = a_1 - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}, 公比 13\frac{1}{3} の等比数列なので、
bn=(−12)(13)n−1b_n = (-\frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1}
lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 なので、lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(bn+32)=0+32=32\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (b_n + \frac{3}{2}) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} となります。
(2)
数列 {an}\{a_n\} の極限が存在すると仮定し、その極限を α\alpha とします。つまり、lim⁡n→∞an=α\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha とします。
漸化式 an+1=−12an+3a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3 において、n→∞n \to \infty とすると、
lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞(−12an+3)\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2}a_n + 3)
α=−12α+3\alpha = -\frac{1}{2}\alpha + 3
32α=3\frac{3}{2}\alpha = 3
α=2\alpha = 2
次に、数列 {an−2}\{a_n - 2\} を考えます。an−2a_n - 2 を bnb_n とおくと、bn=an−2b_n = a_n - 2 より an=bn+2a_n = b_n + 2 となります。
このとき、an+1=bn+1+2a_{n+1} = b_{n+1} + 2 となります。
漸化式 an+1=−12an+3a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3 に代入すると、
bn+1+2=−12(bn+2)+3b_{n+1} + 2 = -\frac{1}{2}(b_n + 2) + 3
bn+1=−12bn−1+3−2b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n - 1 + 3 - 2
bn+1=−12bnb_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n
これは初項 b1=a1−2=3−2=1b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1, 公比 −12-\frac{1}{2} の等比数列なので、
bn=(1)(−12)n−1b_n = (1)(-\frac{1}{2})^{n-1}
lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 なので、lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(bn+2)=0+2=2\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (b_n + 2) = 0 + 2 = 2 となります。

3. 最終的な答え

(1) 32\frac{3}{2}
(2) 2

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