数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ で定義されるとき、この数列の極限 $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ で定義されるとき、この数列の極限 $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の極限が存在すると仮定し、$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ とおく。

このとき、$\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \alpha$ も成り立つ。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ において $n\to\infty$ とすると、

$$\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 1$$

が成り立つ。

この方程式を解くと、

$$\alpha - \frac{1}{2}\alpha = 1$$

$$\frac{1}{2}\alpha = 1$$

$$\alpha = 2$$

したがって、極限が存在するならば、その値は2である。

次に、数列が実際に2に収束することを示す。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、

$$b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = \left(\frac{1}{2}a_n + 1\right) - 2 = \frac{1}{2}a_n - 1 = \frac{1}{2}(a_n - 2) = \frac{1}{2}b_n$$

したがって、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$b_1 = a_1 - 2 = 1 - 2 = -1$ なので、

$$b_n = (-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

$$a_n = b_n + 2 = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

$n \to \infty$ のとき、$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0$ なので、

$$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) = 2 - 0 = 2$$

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} a_n = 2$