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定積分 $\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x-2)^2 dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算積分
2025/6/30

1. 問題の内容

定積分 ∫−11(x+2)2dx−∫−11(x−2)2dx\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x-2)^2 dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を展開し、一つの積分にまとめます。
\begin{align*} \label{eq:1} \int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x-2)^2 dx &= \int_{-1}^{1} [(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4)] dx \\ &= \int_{-1}^{1} (x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4) dx \\ &= \int_{-1}^{1} 8x dx \end{align*}
次に、積分を実行します。
∫−118xdx=[4x2]−11=4(1)2−4(−1)2=4−4=0 \int_{-1}^{1} 8x dx = \left[ 4x^2 \right]_{-1}^{1} = 4(1)^2 - 4(-1)^2 = 4 - 4 = 0

3. 最終的な答え

0

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